方法說明
z 分數是怎麼算出來的
本站顯示的 z 分數（SDS）不是把百分位反推回來的，而是獨立算出來的量。 這一頁說明計算路徑、驗證到什麼程度，以及已知還有哪些限制。
一句話版本
曲線之內，以兒童健康手冊上已發布的百分位值為錨點，數字與手冊完全一致； 曲線之外，改用反推的 LMS 係數外推，並平移到最外側曲線上接合。 兩段合起來得到一個連續、不受 P0.1／P99.9 夾制的 z。
1. 為什麼要多一個 z
百分位在中段很好用，到了兩端就沒有解析度。本站的百分位夾在 0.1 至 99.9 之間，換算過來等於 z 只能落在 ±3.09——真正需要追蹤的孩子恰好都在這條線之外。
| 回診 | 體重 | 畫面上的百分位 | 未夾制的百分位 | z 分數 |
|---|---|---|---|---|
| 初診 | 20.0 kg | P0.1 | P0.024 | −3.49 |
| 半年後 | 17.0 kg | P0.1 | P0.0000070 | −5.26 |
同一個指標、同一個孩子，掉了 3 公斤，百分位卻一個字都沒變——因為 P0.1 是夾制後的下限，掉再多也只會顯示 P0.1。看百分位會以為情況穩定； z 從 −3.49 掉到 −5.26，是 1.8 個標準差。同樣的道理也適用於比較兩個孩子： 兩個都報 P0.1，實際上可能差了 2 個 SD 以上。
遺傳身高的 SD 差距也是同一個問題——原本繞道百分位反推，會把 −4.8 SD 壓成 −4.4。
2. 計算路徑
資料來源是台灣兒童生長曲線（陳偉德、張美惠 2010；國健署公布的圖表與 BMI 建議值），也就是兒童健康手冊上那幾條線。我們額外由這些已發布的百分位表反推出 LMS 係數，只用在曲線之外。
LMS 模型
每個年齡用三個參數描述分布：偏態 L、中位數 M、變異係數 S。測量值 X 換成 z 的公式是
z = ((X / M)^L − 1) / (L · S) L ≠ 0
z = ln(X / M) / S L = 0
年齡之間對 L、M、S 三個係數各自線性內插，與 CDC 官方 SAS 程式的作法相同。
- 曲線之內（身高／體重／頭圍 P3–P97、BMI P5–P95）
以已發布的值為錨點。先用 LMS 把測量值與相鄰兩條曲線都換成 z，再把這個 z 線性映射到那兩條曲線的標準 z 上。表列的點因此完全命中官方值——表上的 P85 就是 P85，不會漂到 P82；曲線之間的形狀仍然跟著 LMS 走，比直接在測量值上做直線內插貼近真實曲線。 - 曲線之外
改用 LMS 外推，並平移到最外側曲線上接合（z = 邊界 z + LMS 的 z 增量）。 平移保證接合處連續且單調，同時保留 LMS 的尾端形狀。 - 退路
若該年齡查不到 LMS，退回舊版的直線外推。目前所有年齡都查得到，這條路徑在驗證中從未被觸發。
10 歲男孩的體重。P3（24.0 公斤）以左就是已發布曲線涵蓋不到的區間，兩條線從那裡開始分岔。
滑鼠移到圖上可以讀任一體重的兩個值；預設停在 17.3 公斤。 接合處兩條線重合，往左才分開——這是平移的作用，保證 P3 這一點沒有跳動。
3. 為什麼不直接用 LMS
已發布的百分位表不是 LMS 的輸出，而是四捨五入到小數第一位的印刷值。 要讓三個參數同時通過同一列的 7 個（BMI 為 5 個）點，一般無解—— 反推得到的曲線一定會與表格有落差。
| 情形 | 偏離 | 出現在哪裡 |
|---|---|---|
| 最差的一格 | 3.14 個百分位 | 女生 0 歲體重，表上的 P75（3.6 kg）算成 P78.1 |
| 中位數上最差 | 1.93 個百分位 | 男生 18.5 歲身高，表上的 P50（172 cm）算成 P51.9 |
| 切點上的例子 | 2.77 個百分位 | 男生 6.5 歲 BMI，表上的 P85（17.3）算成 P82.2——過重的切點本身會漂移 |
最後一列是最麻煩的：P85 是判定過重的切點，如果曲線本身偏移， 一個剛好落在切點上的孩子就會被分到另一邊。誤差不大，但落在會改變處置的位置上。
因此改為錨定。曲線之內以已發布的值為準，LMS 只決定錨點之間的形狀； 曲線之外沒有已發布的值可以錨定，才交給 LMS，該處 LMS 的尾端形狀也優於直線外推。
4. 自己驗一次
男、6.5 歲的BMI已發布曲線（點按帶入）
本站（錨定 + LMS 尾端）
z +1.036433
已發布曲線（錨定）對照：純 LMS（不錨定）
z +0.956690
直接把反推出來的 L/M/S 當成真值。曲線之內會跟官方表格對不起來， 落差就是這一欄與左欄的距離。
這是已發布的 P85 曲線值，理論 z = 1.036433
本站的 z 誤差 1.16e-9 · 純 LMS 的 z 誤差 7.97e-2 · 純 LMS 換算成百分位會偏離 1.94 個百分位
BMI 專用指標
同齡 P95 = 19.16 kg/m² · %BMIp95 = 90.3% · 與 P95 相差 -1.86 kg/m²
畫面上只有 BMI ≥ P95 時才改列 %BMIp95，理由見下方「什麼時候該看哪個數字」。
這一次用到的 LMS 係數（6.5 歲，年齡之間對三個參數各自線性內插）
預設帶的就是上表最後一列：男生、6.5 歲、BMI 17.3，表上的 P85。 左欄回到 P85.0000，右欄的純 LMS 落在 P82.2。 各張表的落差大小不一，按不同曲線與年齡可以自己掃一遍。
5. 自動化驗證
專案內建 pnpm run check:growth， 23 條斷言涵蓋全部 2258 個錨定點，每次改動都會跑。 目前全數通過，錨定點的最大 z 誤差 2.1 × 10⁻⁹。
另外，0–5 歲這一段有外部答案卷。台灣自 2009 年起在該區間直接採用 WHO 2006 標準， 官方的 L/M/S 是公開的，所以可以檢查我們反推出來的係數究竟準不準 （pnpm run check:who， 44 個年齡列）。拿 WHO 真值產生測量值再換算回 z：
| 區間 | 舊版直線外推 | 本站（LMS） | 改善 |
|---|---|---|---|
| 曲線內（|z| ≤ 1.88） | 0.0131 | 0.0081 | 1.6 倍 |
| 曲線外（|z| > 1.88） | 0.0578 | 0.0233 | 2.5 倍 |
| z = ±3 這兩點 | 0.090 / 0.116 | 0.032 / 0.032 | 2.8–3.6 倍 |
越往尾端差距越大，正好是 LMS 被實際用到的區間。反推的係數與 WHO 真值相比， |ΔL| 中位數 0.086、|ΔM| 中位數 0.013（cm 或 kg）。 同一支腳本也守住「已提交的係數必須等於重新擬合的結果」—— 手改過係數檔、或改了百分位表卻忘了重跑擬合，都會被抓到。
看這 23 條檢查的是什麼
原始碼在 scripts/check-growth.ts。
錨定精確度
- ✓全部 2258 個表列點的 z 都等於該百分位的理論值，最大誤差 2.1 × 10⁻⁹
- ✓換算回百分位的最大誤差小於 10⁻⁴ 個百分位
z 不被夾制
- ✓百分位仍夾在 0.1–99.9（畫面顯示用）
- ✓10 歲男孩 13 公斤與 11 公斤的百分位都是 P0.1，z 相差 0.2 以上
- ✓z 可以低於 −3.09，也就是舊版做不到的區間
曲線形狀
- ✓z 隨測量值嚴格遞增，全部年齡、全部指標無例外
- ✓曲線內外接合處連續（最大跳動小於 10⁻⁵）
各指標的範圍
- ✓BMI 的已發布範圍（P5–P95）比身高（P3–P97）窄，門檻分別判定
- ✓「超出參考曲線」的標記與各指標實際的已發布範圍一致
來源資料本身
- ✓已發布的百分位表每一列都嚴格遞增（女生頭圍的一處錯字就是這條抓到的）
計算路徑
- ✓深尾端確實走 LMS 外推，中段確實走已發布曲線
- ✓所有年齡都查得到 LMS，沒有任何一處退回舊的直線外推
%BMIp95
- ✓BMI 等於 P95 時剛好 100%，判為肥胖；120% 判為重度肥胖
- ✓P5 以下判為過輕、中位數判為健康體位
- ✓BMI 由 30 降到 24 時 %BMIp95 變動超過 20 個百分點，同一段 BMIz 變動不到 1 SD
定義域
- ✓超過年齡上限、頭圍超過 5 歲、BMI 未滿 2 歲、非正數測量值一律回傳無結果
6. 什麼時候該看哪個數字
| 情境 | 看哪個 | 理由 |
|---|---|---|
| 一般門診溝通 | 百分位 | 家長聽得懂，中段解析度也夠。 |
| 矮小、過瘦，或 |z| 超過 3 | z 分數 | 百分位在這一段全部擠成 P0.1，分不出變化；z 還在動。 |
| 過重（BMI 在 P85–P95） | z 分數 | %BMIp95 是用來細分肥胖嚴重度的（100% 即 P95），還沒到 P95 之前報「87% of P95」沒有意義；這一段用 z 才能跟身高、體重的 z 對照。 |
| 肥胖（BMI ≥ P95）與減重追蹤 | %BMIp95 | BMIz 在高 BMI 端會飽和（數學上限 −1/(L·S)），BMI 30 降到 24 幾乎不動； %BMIp95 沒有上限，同一段變動超過 20 個百分點。門檻沿用 CDC／AAP： ≥120% 為 class II、≥140% 為 class III。 |
| 過輕的孩子 | z 分數 | %BMIp95 未經驗證可用於過瘦端（Chambers 等人，Pediatrics 2017;140(6)），所以畫面上不顯示。 |
對照用的粗略換算：z 0 = P50，±1 ≈ P16／P84，±2 ≈ P2.3／P97.7，±3 ≈ P0.13／P99.87。
7. 已知限制
- LMS 係數是反推的，不是原廠的。
它是對「已發布百分位表」的平滑重建，不等於用原始個體資料重新配適。 錨定讓曲線之內不受影響，但曲線之外的形狀確實依賴這組重建。 - 尾端沒有獨立的驗證資料。
|z| 大於 3 之後屬於函數外推，不受原始表格任何一格約束。 0–5 歲有外部答案卷（該處本土表即 WHO 2006 標準、官方 L/M/S 已知）， 那一段驗過了——見下方。但 5 歲以上沒有同等的真值可比， 只能說尾端形狀比直線外推合理，不能說已驗證。 - BMI 表只到 P5–P95。
身高、體重、頭圍是 P3–P97。超出各自範圍時畫面會標「外推估計」，兩者門檻不同。 - 體位分類的切點都有本土依據；沒有本土依據的是連續追蹤。
過重 ≥ P85、肥胖 ≥ P95 是國健署「兒童及青少年生長身體質量指數（BMI）建議值」 的定義。再上一層的重度肥胖，國健署《兒童肥胖防治實證指引》寫得很明確： 「BMI 超過該性別年齡層第 95 百分比的 120% 或是 BMI 絕對值大於 35 kg/m²」， 並註明依照美國心臟學會的定義；該指引也說明我國沒有兒童 BMI 第 99 百分位的標準值， 因此以第 95 百分位的 120% 來估算。本站兩個條件都採用，與指引一致。 沒有本土依據的是把 %BMIp95 當成連續指標逐次追蹤——它的驗證來自 CDC 的族群， 且未經驗證可用於過瘦的孩子（Chambers 等人，2017），所以本站只在 BMI ≥ P95 之後才顯示。 - 數值近似的誤差底線。
常態分位數用 Acklam 近似（相對誤差約 1.15 × 10⁻⁹）、累積機率用 Zelen & Severo 近似（誤差小於 7.5 × 10⁻⁸）。比臨床顯示精度小八個數量級，但不是零。 - 這是輔助工具。
單次測量的意義有限，長期的生長趨勢比任何單一數字重要。本頁所有內容僅供參考，不能取代醫師診斷。
8. 參考資料
參考資料
陳偉德、張美惠（2010）。New growth charts for Taiwanese children and adolescents based on World Health Organization standards and health-related physical fitness. Pediatrics and Neonatology, 51(2), 69–79.（PubMed）
衛生福利部國民健康署：兒童生長曲線 · 兒童與青少年生長身體質量指數（BMI）建議值
%BMIp95 與體位分類
Chambers M, et al. Percent of the 95th percentile of BMI: a better measure of severe obesity in children? Pediatrics. 2017;140(6).
衛生福利部國民健康署，《兒童肥胖防治實證指引》，第一節與第六節—— 過重 ≥ P85、肥胖 ≥ P95、嚴重肥胖 ≥ 120% of P95 或 BMI > 35 kg/m²。
CDC BMI-for-age 的 bmip95 定義， 以及 AAP 與 AHA 對 class II（≥120% of P95）、class III（≥140% of P95）的分級。
實作
計算核心在 lib/lms-percentile.ts 與 lib/quick-percentile.ts， 反推的係數在 lib/data/taiwan-lms.ts， 驗證腳本在 scripts/check-growth.ts。 每支檔案開頭的註解記錄了當時的取捨。
更正紀錄
2026-09-07：女生 BMI 參考值更正
本站的女生 BMI 表在 8.5–18.5 歲共 21 列不是原始文獻的值，而是平滑補出來的， 170 格中有 90 格不符。低百分位偏低、高百分位偏高——12 歲的 P95 差到 1.0， 17 歲女生 BMI 20.0（表上正好是 P50）會被算成 P60.6。 已依 Chen & Chang（2010）表 5 逐列更正，並重算 LMS 係數。
男生的三張表與女生的身高、體重表逐格核對無誤（共 1234 格），未受影響。 驗證腳本現在會把四張表與原文逐格比對（1404 格），這類偏差不會再無聲發生。
本頁第 3 節原本以「女生 BMI 表是任何 LMS 都擬合不出來的」作為錨定的主要論據， 那其實是這份錯誤資料造成的，已改寫。錨定的決定不變—— 「印刷值四捨五入到小數第一位」這個理由獨立成立。